Cuando salta una noticia sobre un problema matemático antiguo que por fin se resuelve, muchos piensan en la inteligencia artificial. Este año ha habido motivos de sobra para pensarlo. En esta ocasión, sin embargo, la solución es cosa de personas. Un grupo de matemáticos jóvenes ha resuelto la conjetura de Graham sobre reordenación de números, planteada en 1971 y atascada durante más de cinco décadas. La clave fue aprovechar el azar, combinar campos que casi nunca se mezclan y, de paso, una buena amistad. Te contamos de qué trata el problema, cómo se llegó a la prueba en cuatro etapas y qué dice este caso sobre el papel de la IA en la investigación matemática actual.

Un problema nacido entre bolas de malabares

Ronald Graham fue presidente de la Sociedad Matemática Americana y también de la Asociación Internacional de Malabaristas. A veces llevaba ambos sombreros a la vez. En 1971 planteó una pregunta que, según algunos colegas, pudo estar inspirada por el malabarismo.

La versión intuitiva es esta. Imagina que cada bola permanece en el aire un tiempo distinto. ¿Se puede encontrar siempre un orden de lanzamiento para que dos bolas no caigan en el mismo compás? Si cayeran juntas, la rutina se arruinaría.

Traducido a números, la pregunta es la siguiente. Dado un conjunto de enteros distintos y distintos de cero, ¿se pueden ordenar de forma que todas las sumas parciales sean diferentes? Es decir, la suma de los dos primeros, de los tres primeros, de los cuatro primeros, y así sucesivamente.

Con números positivos la respuesta es evidente, porque las sumas siempre crecen. Con positivos y negativos mezclados también se sabía que era sí. El obstáculo aparecía en otro escenario.

Aritmética del reloj

El caso difícil es el de los números “envueltos” en un reloj. Se toma un número primo p y se trabaja con aritmética modular, donde los valores se repiten tras dar una vuelta completa. Si p es 7, por ejemplo, el 0, el 7 y el 14 equivalen entre sí. Dos números positivos como el 3 y el 4 pueden sumar cero.

Graham conjeturó que, incluso así, siempre habría un orden válido. Su intuición era que, aun con restricciones rígidas, suele quedar suficiente flexibilidad para construir estructuras especiales, igual que casi siempre existe un sudoku o un cuadrado latino válido.

La dificultad depende del tamaño del conjunto respecto a p. Si eliges muchos números, hay muchas sumas que gestionar. Si eliges pocos, hay menos formas de reordenarlos. Cada régimen pedía una técnica distinta, y por eso nadie lograba una prueba general.

Cuatro piezas de un mismo puzle

La solución se construyó en cuatro trabajos. El primero lo firmaron Alp Müyesser, de Oxford, y Alexey Pokrovskiy, del University College de Londres. En 2022 resolvieron el caso en que el conjunto incluye casi todos los números hasta p. Partieron de un orden aleatorio, apartaron unos pocos números de reserva y los usaron para corregir cualquier tramo que sumara cero. Su resultado quedó incluido dentro de un artículo centrado en un problema más general, así que pasó casi inadvertido.

La segunda pieza llegó en septiembre de 2024. Noah Kravitz y Benjamin Bedert, también de Oxford, atacaron el extremo contrario, el de conjuntos diminutos frente a p. Un ejemplo sería 100 números cuando p vale mil millones. Kravitz había encontrado el problema en un archivo en línea de cuestiones sin resolver y comentó que era vergonzoso para la humanidad no saber resolverlo.

La tercera, de agosto de 2025, nació cuando Müyesser vio la prueba de Kravitz y Bedert y les escribió para compartir su propio trabajo. Los tres, junto con otros dos colegas, ampliaron el método de Müyesser a más casos de conjuntos grandes. Kravitz lo calificó de combinación bastante improbable, porque él y Müyesser vienen de dos áreas de la combinatoria que casi nunca colaboran. Aun así, quedaba un hueco enorme: los conjuntos de tamaño medio, con aproximadamente la mitad de números que p. Ahí las técnicas conocidas fallaban por razones de fondo.

Todo apuntaba a otra pausa de décadas, hasta que en febrero de 2026 apareció la cuarta pieza.

El centro de la historia: la prueba de Sauermann y Pham

Lisa Sauermann, de la Universidad de Bonn, y Huy Tuan Pham, de la Universidad de Chicago, se conocían desde 2015, cuando coincidieron en Stanford. Hoy viven en continentes distintos. Un congreso en Alemania, en septiembre de 2025, les dio ocasión de compartir pizarra. Allí oyeron dos charlas sobre la conjetura de Graham y quedaron intrigados. Al final de una estancia de tres días en Bonn ya tenían un plan.

Su método se basa en un recurso técnicamente exigente llamado anticoncentración. Consiste en demostrar que cierto suceso tiene una probabilidad muy baja. Kravitz y otros sospechaban que ese camino podía funcionar, pero reconocían que no se habían atrevido a recorrerlo.

El procedimiento es el siguiente. Primero se ordena el conjunto al azar. Después, cada vez que aparece un tramo que suma cero, se sustituye el último número de ese tramo por otro. Hay tres casos en los que esto puede fallar: que el tramo problemático aparezca demasiado cerca del final, que haya muchos tramos juntos, o que arreglar uno cree otro más adelante.

Para acotar esas tres situaciones usaron análisis de Fourier, que permite reescribir funciones como sumas de ondas simples. Demostraron que, al sumar conjuntos aleatorios de números, ningún valor concreto es especialmente probable. Con ello estimaron la probabilidad de cada fallo y concluyeron que la suma total era inferior al 100 %. Eso basta para que exista al menos un orden válido.

La prueba ocupa 27 páginas. Además de demostrar que siempre hay un orden correcto, establece que un orden aleatorio puede corregirse con éxito al menos el 90 % de las veces.

Hay un matiz importante. Los cuatro trabajos suponen que p es enorme, del orden de 10 elevado a 100. Para un matemático eso carece de importancia, pero implica que ninguna rutina de malabarismo real podría aprovechar el resultado, porque sería interminable. El problema para valores pequeños de p sigue técnicamente abierto.

El contraste con la IA

Este resultado llega en un año en el que la IA ha dado titulares en matemáticas. En mayo, un modelo interno de OpenAI refutó la conjetura de la distancia unitaria de Erdős, que llevaba unos 80 años abierta. Se trató de un resultado genuino, validado por matemáticos, y marcó un antes y un después.

El caso de Graham se parece poco. No hubo un único golpe de inspiración, sino una cadena de ideas acumuladas durante cuatro años y varios países. Cada pieza resolvía un tramo y dejaba claro qué faltaba. La parte decisiva nació de una conversación entre dos amigos delante de una pizarra.

Noga Alon, de Princeton, lo resumió como el triunfo de la colaboración, de la generación joven y de los métodos probabilísticos. Es una descripción que invita a no plantear la IA y la investigación humana como alternativas excluyentes. Ambas avanzan en paralelo, y los dos casos conviven en el mismo año.

Reflexiones adicionales

Lo más llamativo es el valor de un detalle aparentemente menor. El resultado de 2022 de Müyesser y Pokrovskiy pasó desapercibido porque estaba incluido dentro de un artículo centrado en un problema más general. Kravitz, ajeno a ello, encontró la conjetura en un archivo en línea de problemas sin resolver y la atacó desde el extremo opuesto. En un mundo con tanta producción científica, localizar lo que ya se sabe es un reto en sí mismo.

También es un recordatorio de que el progreso no siempre llega en forma de salto espectacular. A veces llega por acumulación, con cuatro trabajos, un congreso y unos días de pizarra compartida.

Queda además una pregunta abierta para quienes seguimos la tecnología. Si las herramientas de IA son cada vez mejores buscando conexiones, tal vez parte de su valor futuro sea ayudar a que resultados como el de 2022 no pasen tanto tiempo sin ser vistos. Es solo una hipótesis, pero encaja bien con lo que cuenta esta historia.